Cantor-Bernstein-Schroeder定理:$A_0$和$B_0$是两个集合.存在$A_0$到$B_0$的单射，存在$B_0$到$A_0$的单射，则存在$A_0$到$B_0$的双射.

 

证明:存在$A_0$到$B_0$的单射$f$,存在$B_0$到$A_0$的单射$g$.令$f(A_0)=B_1\subset B_0$,$g(B_1)=A_1\subset A_0$.$\forall n\geq 1$,令$B_n=f(A_{n-1})$,$A_n=g(B_{n})$.易得

\begin{equation}A_0\supset A_1\supset A_2\supset\cdots\supset A_n\supset\cdots\end{equation}

以及

\begin{equation}B_0\supset B_1\supset B_2\supset\cdots\supset B_n\supset\cdots\end{equation}

当两个集合$C$和$D$存在双射时，记为$C==D$.我们知道，

$$A_0==B_1,B_1==A_1,A_1==B_2,B_2==A_2,\cdots,A_n==B_{n+1},B_{n+1}==A_{n+1}\cdots$$

所以为了证明$A_0==B_0$,只需证$B_0==B_1$.我们知道，$B_0$到$B_1$有单射，而且$B_0\supset B_1$.所以问题化归如下：

 

已知一个集合$M_0$到自己的子集$M_1$有单射，,求证$M_0==M_1$.

 

 

 

 

让图形来帮助思考.如图，$M_0$到$M_1$有单射$f$,$f(M_0)=M_2\subset M_1$.$f(M_1)=M_3\subset M_2$.$f(M_2)=M_4\subset M_3$,$f(M_3)=M_5\subset M_4\cdots\cdots$，就这样一直进行下去，即$\forall n\in\mathbb{N}$,$f(M_n)=M_{n+2}\subset M_{n+1}$.

 

现在令$M_0\backslash(M_1\backslash M_2)$继续通过$f$映射到$M_2\backslash (M_3\backslash M_4)$,而令$M_1\backslash M_2$映射到$M_1\backslash M_2$本身，令$M_3\backslash M_4$也映射到本身……这样子一直进行下去，即令所有的$M_n\backslash M_{n+1}(n\geq 1$,且$n$是奇数$)$都映射到自身,而令所有的$M_n\backslash(M_{n+1}\backslash M_{n+2})(n$是偶数$)$仍然按照$f$的法则映射到$M_{n+2}\backslash(M_{n+3}\backslash M_{n+4})$.（在图形中，我把映射到自身的部分都涂黑了）这样子就构造了一个从$M_0$到$M_1$的双射.

所以$B_0$到$B_1$存在双射.可见$B_0$与$A_0$存在双射.定理证完.